اقرأوا في كوتار - הסתברות
3
1 . 1 הקדמה - תוצאות ומאורעות ברולטה ״ החיים אינם חברת ביטוח״ - כך אומרים לפעמים , כשרוצים להצביע על חוסר הוודאות שבו אנו שרויים לגבי רוב המאורעות שעשויים לקרות-או-לא-לקרות בחיינו . האם בשנה הבאה ירד שלג בירושלים ? האם הנורה במסדרון תישרף לפני פורים ? האם לעבור ניתוח שיש בו אחוז מסוים של סיכון , אבל יש בו גם סיכוי לפתור את הבעיה הרפואית ? האם מהראיות הנסיבתיות שהובאו בפני בית המשפט עולה שהנאשם אמנם אשם ? איך ניקח בחשבון את הסיכויים למאורעות מסוימים ( כגון מלחמה או שלום ) לצורך גיבוש עמדתנו הפוליטית ? שום מדע לא יספק לנו תשובות מוחלטות לשאלות שכאלה . אף על פי כן , יש מדע העוסק במאורעות שלגביהם אנו שרויים במצב של אי-ודאות . התורה המנתחת מצבי אי-ודאות שונים ועוסקת בקשרים ביניהם היא ענף של המתמטיקה , ושמה תורת ההסתברות . ראשיתה של תורה זו במאה , ה-17 כאשר אציל צרפתי הציג למתמטיקאי בלז פסקל מספר בעיות הקשורות למשחקי מזל שבהם השתתף . בעקבות זאת התפתחה בנושא זה התכתבות בין פסקל לבין מתמטיקאי אחר , 9 יר ךה פלמה ; התכתבות זו נחשבת לראשיתה של תורת ההסתברות . וכאן מתעוררת השאלה ; אי-הוודאות בכלל ומשחקי מזל והגרלות בפרט קיימים בעולמנו מימי קדם . בחפירות ארכאולוגיות נמצאו עצמות ששימשו למשחקי מזל לפני למעלה משלושת אלפים שנה . בתקופת רומי היו משחקי המזל נפוצים עד כדי כך , שהקיסר הוציא צו הגבלה לגביהם . מדוע התחילה תורת ההסתברות להתפתח רק במאה , ה-17 בניגוד לגיאומטריה , למשל , או לאלגברה , ואפילו לחשבון הדיפרנציאלי , שהחלו להתפתח הרבה יותר מוקדם ? אפשרות אחת היא הקשר ההדוק שבין אי-הוודאות לבין הדת . צפיית העתיד נתפשה כנחלת האלים , ולעתים השתמשו בקוביות בתור פולחן דתי ו תוצאה של הטלת קובייה נתפשה כדרך שבה האל ״משדר״ את כוונותיו . בשבטים מסוימים באפריקה משמשות קוביות כחלק מן הפולחן עד היום . סיבה אפשרית נוספת היא המרכזיות של דרכי חשיבה דטרמיניסטיות ; מדע נתפש כאמתי אם אנו לומדים בו שלגורם א' יש תוצאה , ב' וניסוי ג' יוביל בהכרח לתוצאה . ד' חשיבה בתנאים של אי-ודאות , שאין בה אפשרות לחזות בבירור תוצאות של מאורעות , לא נתפשה כחשיבה רצינית . האפשרות להוכיח טענה הסתברותית אינה דומה להוכחות בתחומים אחרים , שכן בהסתברות - גם אחרי ההוכחה אנו נותרים עם אי-ודאות , בלי אפשרות לומר חד-משמעית ״נכון״ או ״לא נכון . ״ גורם נוסף , שקשור לגורם הקודם , הוא שטענות לא מעטות בתחום ההסתברות אינן אינטואיטיביות . נפגוש בהמשך דוגמאות רבות להתנגשות בין השערות שנעלה באופן אינטואיטיבי לבין התשובות שנקבל מהתורה הרשמית . פיק ראשון : מושגי יסוד
גורם אפשרי נוסף הוא אי-הדיוק של המנגנונים האקראיים שבהם השתמשו בעבר . אם הקוביות , למשל , היו פחות סימטריות מהקוביות כיום , ייתכן שהתוצאות שהתקבלו לא שיקפו שוויון בסיכויים של צדי הקובייה השונים ליפול כלפי מעלה . אולם אין ספק שהחשיבה ההסתברותית , על אף האיחור שבהתפתחותה , הולכת וצוברת תאוצה בתרבות המודרנית . העיתונות מרבה יותר ויותר לעסוק במידע שמנותח בכלים סטטיסטיים והסתברותיים ( גס אם לא תמיד בצורה נכונה ( ... ואפילו בשפתנו יש שימוש גובר והולך במונחים של סיכויים , הסתברות , ודאות וכר . האפשרות לפתח תורה שכזאת נובעת מכך שגם מצבים של חוסר ודאות ניתנים להשוואה ולקישור . העצה ״קח מעיל - ייתכן שירד גשם״ היא עצה טיפשית בישראל בחודש יולי , ולא כך בישראל בינואר או באנגליה ביולי . המאורע ״בשנה הבאה ירד שלג בירושלים״ סביר יותר מהמאורע ״בשנה הבאה ירד שלג בירושלים בט״ו בשבט , ״ וסביר פחות מהמאורע ״לפחות באחת מהשנתיים הבאות ירד שלג בירושלים . ״ תורת ההסתברות מנתחת את דרגת הסבירות של מאורעות לא ודאיים . לעומת המושג האיכותי ״סבירות״ שמשמש בשפת יום-יום , מעמידה תורת ההסתברות מדד כמותי מוגדר לדרגת הסבירות של מאורע . למדד זה קוראים ההסתברות של המאורע . נתחיל את היכרותנו עם מושג ההסתברות באמצעות מספר דוגמאות . הדוגמה הראשונה היא גלגל הרולטה ( מצרפתית , ( Roulette - שהוא מכשיר לביצוע הגרלות . הרולטה מורכבת מלוח עגול שבמרכזו ציר , ומחץ המסתובב סביב הציר על מסב משומן היטב , כך שתנופח קלה גורמת לחץ להסתובב על הציר סיבובים רבים לפני שהחיכוך עוצר אותו . את הלוח מחלקים למספר גזרות שכל אחת מהן צבועה בצבע אחר . ניתן , כמובן , להתייחס לסיבוב החץ כאל ניסוי פיזיקלי , ולנסות ולקבוע את מקום עצירת החץ לפי העצמה והכיוון של הכוח שבו סובבנו אותו , לפי נקודת ההתחלה , לפי מסת החץ , לפי העצמה והכיוון של הכוחות העוצרים , וכוי . אולם בפועל קשה מאוד לשלוט במשתנים הנ״ל , ואנו נעדיף להתייחס לשאלת המקום שבו עוצר החץ כאל עניין שנקבע אקראית . ברולטה שבציור , לדוגמה , יש 4 גזרות , הצבועות בצבעים ירוק , אדום , לבן ושחור . החץ יכול להיעצר בכל אחת מארבע הגזרות האלה ( לשם קיצור נתעלם כאן מהאפשרות הנדירה שהחץ ייעצר על הקו