اقرأوا في كوتار - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
346
11 . 1 מציאת אינטגרלים על ידי הצבה בחשבון דיפרנציאלי למדנו לגזור פונקציות רבות בעזרת כללי גזירה פשוטים ויעילים ( למשל , נגזרת מכפלת שתי פונקציות , נגזרת מנת שתי פונקציות , נגזרת פונקציה מורכבת . ( אין כללים דומים בחשבון אינטגרלי . יתרה מזאת , יש פונקציות רבות שאת האינטגרלים שלהן אי אפשר לרשום בעזרת תבנית פשוטה , ולכן אין בידנו דרכים פשוטות לתאר את האינטגרלים האלה . rsin x למשל , אין בנמצא תבנית פשוטה בשביל . f dx השיטות למציאת אינטגרלים הן מוגבלות J x r למדי ומועילות רק לפונקציות מסוימות . עם זאת , הן מאפשרות מציאת אינטגרלים במקרים חשובים , בפרק הזה נלמד כמה שיטות . הערה גם בפרק הזה תחום של כל פונקציה הוא קטע , קרן או כל הישר . דרך חשובה לחישוב אינטגרלים היא שיטת ההצבה . בעזרתה אפשר לחשב את האינטגרלים מהצורה , \ f ( u ( x )) ? 'u ( x ) dx כאשר האינטגרנד הוא מכפלת שתי פונקציות ; פונקציה אחת היא פונקציה מורכבת : , f ( u ( x )) והפונקציה השנייה היא נגזרת הפונקציה הפנימית של הפונקציה המורכבת : . u ' ( x ) למשל : א . באינטגרל (\ x + I ) 5 ? 2 xdx האינטגרנד הוא מכפלה של שתי פונקציות . 2 5 אחת מהן היא פונקציה מורכבת , f ( u ( x )) = { % + 1 ) כאשר הפונקציה הפנימית שלה היא 2 . u ( x ) = x + 1 2 הפונקציה השנייה במכפלה היא הנגזרת של הפונקציה הפנימית י . 'u ( x ) = ( JC + 1 ) ' = 2 x לכן האינטגרל כאן הוא מהצורה . \ f ( u ( x )) ? 'u ( x ) dx ^ פרק :: I 11 11 ^ HWH ^^ שיטות אינטגרציה נוספות הנושאים בפרס ב . מציאת אינטגרלים של פונקציה רציונלית עם מכנה ליניארי ליניארי
ב . באינטגרל [ sin x ? cosxdx האינטגרנד הוא מכפלה של שתי פונקציות . 3 אחת מהן היא פונקציה מורכבת , f ( u ( x )) = sin x כאשר הפונקציה הפנימית שלה היא . u ( x ) = sin x הפונקציה השנייה במכפלה היא הנגזרת של הפונקציה הפנימית ! 'u ( x ) = ( sin )* ' = cos * לכן האינטגרל גם כאן הוא מהצורה . (/{ ״ ))*( ? u \ x ) dx בחישובי האינטגרלים מהסוג הזה נסתמך על המשפט הבא ; משפט אס פונקציה u ( x ) גזירה , לפונקציה f ( u ( x )) u- ' { x ) יש פונקציה קדומה בתחום מסוים , ולפונקציה f ( t ) יש פונקציה קדומה בתחום שהוא טווח של , u ( x ) אזי \ f { u { x )) u- \ x ) dx = \ f { t ) dt כאשר . t = u ( x ) הוגחת משפט F היא פונקציה קדומה של / בתחום של , / כלומר ? 'F = f לפי נוסחת הנגזרת של פונקציה מורכבת ( כלל השרשרת ) ו . { F { u { x )) = F \ u ) u- \ x ) = f { u ) u- \ x ) לכן הפונקציה F { u { xj ) היא הפונקציה הקדומה של , f ( u ( x )) ? u ' { x ) זאת אומרת : . jf ( u ( x )) u- ' ( x ) dx = F ( u ( x )) + C מצד שני , אם נציב , t = u ( x ) נקבל : , F ( u ( x )) + C = F ( t ) + C = lf ( t ) dt כי הפונקציה F היא הפונקציה הקדומה של . / על כן : J (/ w ( x )) ? 'u ( x ) dx = \ f ( t ) dt כאשר . t = u ( x ) המשפט הוכח . השימוש במשפט זה נקרא אינטגרציה על ידי הצבה . אם לא יודעים כיצד לחשב את האינטגרל \ f ( u ( x )) ? u \ x ) dx בעזרת האינטגרלים המיידיים , אזי לפי המשפט ( 1 ) מציבים : במקום u ( x ) את , t ובמקום 'u ( x ) dx את , dt ( ( 2 מחשבים את האינטגרל \ f ( t ) dt בעזרת טבלת האינטגרלים המיידיים . לדוגמה נחשב את האינטגרליס המופיעים בתחילת הפרק .