|
|
صفحة: 173
משפט : ( sin x ) ' = cos x 1 נציג להלן הנמקה מפורטת אך לא הוכחה מדויקת . הנמקה = נתבונן במעגל המספרים ונסרטט בו את sin * ואת ( ו . sin ( x + 1 2 נבחר ph-1 0 < x < — . 0 < x + h <— \ y 2 2 wmnn MPprr הוא ההפרש sin ( x + h ) - sin x ( נמקו , ( שאת אורכו יש לחשב . לשם כך נוסיף לסרטוט את המיתר הנשען על הקשת שאורכה h ונסמן את אורכו . 1-ב נתבונן במשולש ישר הזווית ADB ( המשולש האפור בסרטוט . ( AD = sin ( x + h ) - sin x AB = I נחשב את הזווית a ( נמקו כל שלב : ( a = ZOAB - ZOAD 71- h _ 7 r h ZOAB = 2 2 2 ZOAD = - ( x + h ) reh 71 : h לכן a = hx + h = x + — 2 2 2 2 במשולש : ADB AD (*) cos a = AB DO ! AB = 1 , AD = sin ( x + h ) -sin x , cos a = cos | x + — | : o h sin ( x + h ) -sin x ולכן cos ( x + — ) = — - — 2 1 כאשר ערכי h הולכים וקטנים , ושואפים ; 0-ל f h ^ h א . 1 \ > x לכן . cos x + —— > cos x [ 2 ) 2 ב . אורך המיתר 1 הולך ומתקרב לאורך הקשת . h 1 ההוכחה המדויקת דורשת ידע בתורת הגבולות , ואת הנוסחה עבור . sin ( x + y ) 2 בחרנו \ ברביע הראשון ו- h חיובי . הוכחות דומות אפשר לתת \ -ל בכל רביע ו- h שלילי .
|
|