|
|
صفحة: 297
אם , f "'(\ 0 ) < 0 פירוש הדבר כי x 0 היא נקודת מקסימום של » f ' ( x ) ולכן הפונקציה f ( x ) היא קעורה מלמעלה משמאל ל \ - וקעורה מלמטה מימין ל- . x כאשר f " ( x ) אינה גזירה , או שחישוב הנגזרת השלישית הוא ארוך ומייגע ( למשל בפונקציות מנה , ( ואלה הם מרבית המקרים . הדרך הנוחה ביותר לקבוע אם נקודה x 0 היא נקודת פיתול , היא על ידי בדיקת הסימן של f " ( x ) משני צדי הנקודה . נסכם : כדי למצוא נקודות פיתול של פונקציה גזירה פעמיים יש לחשב את ערכי x שעבורם . f " ( x ) = 0 אם xo היא נקודה חשודה , יש לבדוק את סימן f " ( x ) משני צדי . xo רק אם f " ( x ) מחליפה סימן , כי אז x 0 היא נקודת פיתול . דוגמאות 3 א . נמצא את תחומי הקעירות של הפונקציה f ( x ) = x - x + 1 ואת נקודות הפיתול . 2 f' ( x ) = 3 x -l , f " ( x ) = 6 x onjio . x = 0 < = 6 x = 0 לכן נקודה זו עשויה להיות נקודת פיתול . נבדוק את הסימן של f " משני צדי ? . = 0 ^ 6 x > 0 עבור f < = x > 0 עולה f < = קעורה מלמעלה בתחום . x > 0 6 x < 0 עבור f ' < = x < 0 יורדת rnivp f < = מלמטה בתחום x < 0 לכן x = 0 היא נקודת פיתול . היות שזו נקודת מעבר מקעירות מלמטה לקעירות מלמעלה , הרי שהיא נקודת מינימום של הנגזרת . הערה י במקרה זה קל לגזור פעם נוספת . מקבלים , f '"( x ) = 6 1 ולכן x = 0 היא נקודת פיתול . מכיוון שf , f '"( 0 ) > 0 הרי שנקודה זו היא נקודת מינימום של הנגזרת . לכן עבור f ' , x > 0 עולה ולפיכך f קעורה מלמעלה . בתחום fx < 0 יורדת , ולכן f קעורה מלמטה . משמאל מוצגים הגרפים של הפונקציה ושל שתי נגזרותיה במערכת צירים אחת . הגרפים ממחישים את התוצאות שקיבלנו ומדגימים את הקשר שבין הפונקציה לשתי נגזרותיה .
|
|