|
|
صفحة: 296
ב . אם משמאל x - ^ הפונקציה f קעורה מלמעלה , ומימין xo ^ הפונקציה f קעורה מלמטה , פירוש הדבר כי הנגזרת שלה עולה משמאל * 0-ל ויורדת מימין לה . היא במקרה זה x 0 נקודת מקסימום של . ^(^ מסקנה : אם x 0 היא נקודת פיתול ו- f ( x ) פונקציה גזירה פעמיים , אז . f " ( x o ) = O הסבי ; אם x 0 היא נקודת פיתול של , f ( x ) אז היא נקודת קיצון פנימית של . f ' ( x ) לכן אם f ' ( x ) גזירה , כי אז הנגזרת של f ' ( x ) בנקודה זו מתאפסת . במילים אחרות . f " ( x 0 ) = 0 1 כיצד מוצאים נקודות פיתול ! ! כדי למצוא את נקודות הפיתול של פונקציה f ( x ) מחפשים את נקודות הקיצון של . f' ( x ) הנגזרת הראשונה של f ' ( x ) היא , f " ( x ) לכן יש למצוא את נקודות האפס של . f " ( x ) הנקודות שבהן f " ( x ) = 0 הן הנקודות החשודות לקיצון של $ ' (*) ולכן עשויות להיות נקודות פיתול . שימו לב : לא כל נקודה שבה f " ( x ) = 0 היא בהכרח נקודת פיתול . למשל , עבור f ( x ) = x מתקיים , f " ( 0 ) = 0 ואילו x = 0 היא נקודת מינימום של הפונקציה . הנקודות שבהן f " ( x ) = 0 מחלקות את תחום ההגדרה של הפונקציה לקטעים שבכל אחד מהם הסימן של f " הוא קבוע . עתה נבדוק את סימן הנגזרת השנייה משני הצדדים של כל נקודה חשודה . אפשר לבחור נקודה כלשהי בכל קטע . הסימן של f " באותה נקודה מתאר את סוג הקעירות של הפונקציה בקטע . אם f " מחליפה סימן , הרי שלפנינו נקודת פיתול , שאם לא כן סוג 4 הקעירות אינו משתנה ( דוגמה לכך היא הפונקציה , x בנקודה x = 0 הנגזרת השנייה מתאפסת , אך הפונקציה אינה משנה את סוג הקעירות ( . הערה י דרך נוספת למציאת נקודות הקיצון של f ' היא בעזרת הנגזרת השנייה של , f ' דהיינו על ידי , f '" אם היא קיימת . נסמן ב- x נקודה שבה . f " ( x 0 ) = 0 אם גם f " ( x ) היא פונקציה גזירה , נגזור אותה ונחשב את f '"( x 0 ) אם f "'(* 0 ) * 0 ברור ש- x היא נקודת קיצון של $ ? ' ( x ) וליו היא נקודת פיתול של . f ( x ) אך אם , f '"( xo ) = 0 צריך לבדוק את הסימן של f " ( x ) בסביבת הנקודה . xo f '"( xo ) > 0 DN פירוש הדבר כי xo היא נקודת מינימום של f' ( x ) ולכן f ' יורדת משמאלה ועולה מימינה . במילים אחרות ו הפונקציה f ( x ) היא קעורה מלמטה משמאל ל- x וקעורה מלמעלה מימין ל xo 1 כאשר f ושתי נגזרותיה f ' ו- f " רציפות .
|
|