|
|
صفحة: 213
על פי האמור לעיל יש בידינו דרך נוספת למצוא את נקודות הקיצון ולקבוע את סוגן . נחפש תחילה את הנקודות החשודות של f ( x ) על ידי גזירה ופתרון המשוואה x 0 ON . f ( x ) = 0 נקודה חשודה , נגזור את f ' ( x ) ונחשב את הערך של [ f ' ( x )] ' ב- . x אם ערך זה הוא שלילי , , ו ננסח את האמור לעיל באופן מדויק . הגדרה אם f ( x ) היא פונקציה גזירה ואם גם f ' ( x ) היא פונקציה גזירה , נאמר כי f ( x ) גזירה פעמיים . הנגזרת של f ' ( x ) נקראת הנגזרת השנייה . מסמנים אותה בצורה . f" ( x ) = [ f ' ( x )] ' משפט : f ( x ) פונקציה גזירה פעמיים בנקודה . x 0 אם f ( x o ) = O ו- , f " ( x )> 0 כי אז xo היא נקודת המינימום של הפונקציה . הוכחה משמעות האי-שוויון י" (\ 0 )> 0 1 היא שהנגזרת של הפונקציה f' ( x ) חיובית בנקודה , x 0 ולכן f ' ( x ) עולה בסביבת . x 0 מכיוון ש- f' ( x ) , f ' ( x o ) = O שלילית משמאל לנקודה , וחיובית מימינה . כלומר קיימת סביבה של xo שבה ? . f ( x ) < = f ' ( x )< 0 < = x < x 0 יורדת rfcw f ( x ) < = f ' ( x )> 0 t = x > x 0 על-כן x 0 היא נקודת מינימום של הפונקציה , כפי שמוצג בסרטוט משמאל מטעמים דומים . אם f ( x o ) = O ו- , f " ( x o )< O אז xo היא נקודת מקסימום של הפונקציה . הטבר f" ( x o )< O משמעו שהנגזרת של הפונקציה f' ( x ) שלילית בנקודה x 0 ולכן f ' ( x ) יורדת ' בסביבת הנקודה . היות ש- , f ' ( x o ) = 0 משמאל לנקודה f ' ( x ) חיובית , ומימינה f ' ( x ) שלילית . קיימת סביבה של x 0 שבה = tfrw f ( x ) < = f ' ( x )> 0 < = x < x 0 f ( x ) < = f' ( x )< 0 < = x > x 0 יורדת על-כן x 0 היא נקודת מקסימום של הפונקציה . בסרטוט ? . שימו לב הדיון שערכנו עד כה עסק רק במקרים שהנגזרת השנייה הייתה חיובית או שלילית . רק במקרים אלה אנו
|
|