|
|
صفحة: 317
הוכחת השקילות של קעייות משיקית וקעירות נגזרתית לשם הפשטות נעסוק בהוכחות רק בקעירות למעלה ( ההוכחות זהות גם לקעירות למטה . ( א . קעירות נגזרתית < = קעייות משיקית f ( x ) פונקציה קעורה נגזרתית למעלה בקטע . fa , b ) נתבונן במשיק לגרף בנקודה פנימית כלשהי x 0 תסמן אותו . k ( x ) -n כדי להוכיח כי הפונקציה קעורה משיקית צריך להוכיח כי לכל נקודה x 0 בקטע נמצא המשיק לפונקציה בנקודה x 0 מתחת לגרף . משוואת המשיק לפונקציה בנקודה x 0 היא k ( x ) = f ' ( xo )( x - x 0 ) + f ( x 0 ) ? ? הגובה של } מעל k מתואר על ידי הפונקציה g ( x ) = f ( x ) - k ( x ) = f ( x ) - ( f ' ( xo )( x- x 0 ) + f ( x 0 ) ) : g ( x ) עלינו להראות כי הפונקציה g ( x ) היא פונקציה חיובית בכל הקטע המתאפסת רק בנקודה \ . 0 נראה כי x 0 היא נקודת מינימום של g שבה g ( x 0 ) = 0 ובכך הוכחנו את הטענה . על ידי גזירה מקבלים : g' ( x ) = f ' ( x ) - f ' {\ 0 ) ובנקודה . g' ( xo ) = 0 : x 0 פירוש הדבר כי x 0 היא נקודה חשודה של הפונקציה . g כדי להראות שנקודה זו היא נקודת מינימום נשתמש בקעירות של . f f קעורה למעלה בקטע , לכן f ' עולה ממש בכל הקטע , ובפרט בנקודה \ . 0 כלומר f ' ( x ) < f ' ( x 0 ) לערכי \ משמאל ל- x ו- f ' ( x ) > f ' {\ $ ) לערכי x מימין ל- . x כדי לראות ש- x מינימום ניצור טבלת סימנים לפונקציה : g ואכן מהטבלה רואים כי x 0 היא נקודת מינימום שבה הפונקציה מתאפסת . ב . קעירות משיקית < = קעירות נגזרתית אנו מניחים כי f ( x ) קעורה משיקית בקטע . 1 עלינו להוכיח כי f' עולה בקטע , כלומר לכל שתי נקודות שונות a ו- b כך ש a < b מתקיים f ' ( b ) > f ' ( a ) נתבונן בסרטוט ^ קעורה משיקית , לכן המשיק לגרף העובר דרך הנקודה ( b , f ( b )) נמצא מתחת לגרף , ובפרט מתחת לנקודה . ( a , f ( a )) המשיק לגרף בנקודה ( b , f ( b )) הוא הישר העובר בנקודה ושיפועו f ' ( b ) לכן משוואתו היא : y ( x ) = f ' ( b )( x b ) + f ( b ) ומתקיים . f ( a ) > y ( a ) נרשום זאת במפורט : f ( a ) > f ' ( b )( a b ) + f ( b ) * f ( b )< f' ( b )( b - a ) + f ( a ) : f ( b ) ^^ 111 ^ עתה נעביר משיק דרך הנקודה . ( a , f ( a )) בגלל קעירות הפונקציה המשיק נמצא מתחת לנקודה . ( b , f ( b )) נרשום זאת .
|
|