|
|
صفحة: 223
האם אפשר להסיק כי כדי לקבוע את סוג הקיצון של פונקציה רציונלית מספיק לגזור את מונה הנגזרת ולקבוע את סוג הקיצון על פי הסימן של נגזרת זו ? התשובה לשאלה זו היא חיובית , ולהלן ההוכחה . כדי למצוא את נקודות הקיצון של פונקצית מנה f ( x ) = — 7 גוזרים ומקבלים v ( x ) ( לשם הפשטות סימנו את מונה הנגזרת ב- x 0 ( . w ( x ) היא נקודת אפס של הנגזרת ( נקודה חשודה , ( כלומר . w ( x 0 ) = 0 נגזור פעם שנייה . ? כאשר מציבים את הנקודה החשודה x 0 בנגזרת השנייה מקבלים י 4 . 1 המכנה [ v ( x 0 )] חיובי לכל x בתחום הגדרת הפונקציה והוא ואינו משפיע על הסימן . w ( xo ) = 0 . 2 ( הרי כך מצאנו את , ( xo לכן המחובר השני של המונה שווה ל- . 0 2 , [ v ( x 0 )] > 0 . 3 לכן הוא אינו משפיע על הסימן . A מהאמור לעיל ברור , כי הסימן של f " ( x 0 ) שווה לסימן של . w' ( x 0 ) הנגזרת השנייה של פונקצית מנה היא , בדרך כלל , ביטוי ארוך ומסובך . אם מטרתנו היא לאתר את נקודות הקיצון של הפונקציה , מספיק לגזור את המונה של הנגזרת הראשונה ולהציב בו את הנקודות החשודות . הסימן המתקבל בדרך זאת הוא אותו סימן שמתקבל בהצבת הנקודה החשודה בנגזרת השנייה של הפונקציה . סיכוס - כיצד מוצאים את נקודות הקיצון של פונקצית מגה : . 1 גוזרים את הפונקציה ומחשבים את נקודות האפס של הנגזרת . . 2 גוזרים את המונה של הנגזרת ומציבים בו את הנקודות החשודות . אם מתקבל מספר חיובי , הרי שמדובר בנקודת מינימום . ואס מתקבל מספר שלילי , הרי שזאת נקודת מקסימום . . 3 אם מתקבל , 0 צריך לבדוק את התנהגות הפונקציה משני צדי הנקודה . דוגמאות מסכמות „/ , 3 x + 4 . 1 מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה fix ) = — x + 1 את , 3 x -8 x + 3 א . גוזרים הפונקציה ומקבלים ו f ( xj = — -, ^— { x + lf
|
|