|
|
صفحة: 98
הערה אפשר להתייחס למכפלת מספר קבוע בפונקציה כאל מקרה פרטי של מכפלת שתי פונקציות , ולגזור לפי הנוסחה האחרונה . אם u ( x ) f ( x ) = c אז u' u ' = c u + c f = c ' u + c ? u ' = 0 החוק לנגזרת מכפלה עוזר במיוחד כאשר לא נוח להכפיל את שתי הפונקציות לפני הגזירה , או כשאי אפשר להכפיל אותן . דוגמאות לכך נכיר בהמשך , כשנלמד לגזור פונקציות נוספות . דוגמה 3 4 2 f ( x ) = ( 2 x -5 )( x - 2 x + 4 x - 1 ) 3 4 2 3 4 2 •( x - 2 x + 4 x - 1 ) ' = •( x - 2 x + 4 x - 1 ) + ( 2 x -5 ) f' ( x ) = ( 2 x -5 ) ' 2 4 2 3 3 •( 4 x - 4 x + 4 ) •( x - 2 x + 4 x - 1 ) + ( 2 x -5 ) = 6 x אפשר להרחיב את החוק של נגזרת המכפלה למקרים שבהם מספר הגורמים גדול מ- . 2 2 3 דוגמה f ( x ) = ( 5 x + 1 )( x -2 )( 3-x ) נתייחס למכפלת שתי הפונקציות הראשונות כאל גורם אחד ( 3 - x ) \ f ( x ) = [( 5 x + // x - 2 )]• ונגזור את הפונקציה לפי הכלל של נגזרת המכפלה של שני גורמים : •( f ( x ) = [( 5 x + l )( x -2 )]' . ( 3-x ) + [( 5 x + l )( x -2 )] . ( 3-x עתה נחשב את נגזרת הגורם הראשון ( כמכפלה : ( 2 ' 2 [( 5 x + l )( x -2 )] = 5 ( x -2 ) + ( 5 x + l ) -2 x מכאן נובע כי : 2 3 2 2 f' ( x ) = [ 5 ( x -2 ) + ( 5 x + l ) -2 x ] - ( 3-x ) + [( 5 x + l )( x -2 )] - ( -3 x ) = 2 3 3 2 2 = 5 ( x -2 )( 3-x ) + ( 5 x + l ) -2 x- ( 3-x ) + ( 5 x + l )( x -2 )( -3 x ) שימו לב : 2 3 2 1 3 2 3 f' ( x ) = ( 5 x + l ) ' ( x -2 )( 3-x ) + ( 5 x + l )( x -2 ) ( 3-x ) + ( 5 x + l )( x -2 )( 3-x ) ' כלומר , כאן הנגזרת של מכפלת שלוש פונקציות שווה לסכום של שלושה מחוברים שבו כל מחובר הוא מכפלה של שלושה גורמים : המחובר הראשון שווה למכפלת הנגזרת של הפונקציה הראשונה בשתי הפונקציות האחרות , המחובר השני הוא מכפלת נגזרת הפונקציה השנייה בשתי הפונקציות האחרות , והמחובר השלישי שווה למכפלת נגזרת הפונקציה השלישית בשתי הפונקציות האחרות . האם זה נכון תמיד , או רק בדוגמה שלפנינו ? נראה כי המכפלה של שלוש פונקציות גזירות קיימת , ונחשב את נגזרתה .
|
|