|
|
صفحة: 59
ג . בהגדרות שלעיל השתמשנו באי שוויונים חלשים , < או , > לאפיון נקודות הקיצון . לפי הגדרות אלה בפונקציה f ( x ) = 3 ( פונקציה קבועה ) כל נקודה בתחום היא גם נקודת מקסימום וגם נקודת מינימום . נתבונן עתה בנקודות הקיצון של פונקציה . f אפשר לראות שבנקודות אלה המשיק מאוזן , כלומר שיפועו . 0 כיוון ששיפוע המשיק שווה לנגזרת הפונקציה באותה נקודה , מתקבל המשפט 1 הבא : משפט x 0 ON : 1 היא נקודת קיצון פנימית בתחום של הפונקציה f ואם f גזירה בנקודת , xo אז . f ' ( x 0 ) = 0 הערה : המשפט ההפון אינו נכון , כפי שאפשר להיווכח בגרף הפונקציה g ( x ) = 2 x + 1 המופיע 2 בעמוד הקודם . הנגזרת g' = 6 \ מתאפסת עבור , x = 0 אך נקודה זו אינה נקודת קיצון . כיצד נמצא את נקודות הקיצון של פונקציה ? f משפט 1 אינו מבטיח לנו כי כל אפס של f ' ( x ) הוא נקודת קיצון , אך הוא נותן לנו לפחות נקודות . "חשודות" כדי לבדוק אם הן נקודות קיצון , נצטרך לחשב את ערכי f בסביבת נקודות אלה . דוגמאות 2 . 1 מצאו נקודות קיצון של הפונקציה . f ( x ) = 1 + x + x פתרון : נחשב את נקודות האפס של הנגזרת . f ' ( x ) = 2 x + l 2 x + 1 = 0 = > x = - 2 1 x = — היא נקודה . "חשודה" נחשב את ערכי הפונקציה בנקודה זו וגם בסביבתה . נבחר למשל * = 0 ו- x = 1 ונרכיב טבלת ערכים שימו לב , בטבלה סימנו בכוכבית את הנקודה החשודה . ערכי f משני הצדדים של — גדולים מ- , f — ולכן — 2 2 I 2 ) הוא נקודת מינימום . ערך המינימום הוא .- משמאל מוצג גרף הפונקציה שעליו מסומנות נקודת הקיצון ושתי הנקודות הנוספות ששיעוריהן חושבו קודם . ' הוכחת המשפט תובא לאחר מכן .
|
|