מתמטיקה

صفحة: 80

משפטי הגאומטריה של אוקלידס מתארים בהכרח את תכונות הצורות של גופים פיסיקליים מכרים . אולם במאה ה - 9 ר הופיעו שיטות של גאומטריה לא - אוקלידית , שלפיהן לצורות גאומטריות יכולות להיות תכונות שונות מאשר לצורות המגדרות בגאומטריה של אוקלידס . לדגמה , בשיטות גאומטריות כאלה אי - אפשר לפעמים להעביר קו מקביל לישר נתון דרך נקדה נתונה , וכל שני קוים ישרים בהכרח נפגשים במקום כלשהו . בעקבות התפתחיות אלה , שהראו שיתכנו שיטית גאומטריות שונות שכלן " נכונות " מבחינה מתמטית , עלתה השאלה מהי הגאומטריה " הנכונה " של העולם שבו אנו חיים . הפתרון שהגיעו אליו המתמטיקאי דוד הילברט ותלמידיו היה שעקרה של המתמטיקה אינו התכן שלה , אלא המבנה שלה , המבסס על הנחות יסוד , הוכחות ומשפטים . תורה מתמטית היא " נכונה " אם ההוכחות שלה תקפות , גם אם הנחות היסוד - ולכן גם המשפטים - אינם מתקימים בעולם שבו אנו חיים . הפיסיקה היא הקובעת איזו תורה מתמטית היא המתארת בצורה נכונה את מבנה העולם . ואכן , בתחלת המאה ה - 20 התקבלה בפיסיקה תורת היחסות הכללית של אינשטין , שעל פיה דוקא הגאומטריה הלא - אוקלידית היא המתארת בצורה נכינה את מבנה המרחב והזמן ביקום שלנו . מתמטיקה במאה העשרים בעקבות רעיוני של הילברט התרכזו מאמציהם של המתמטיקאים ביני כוונים עקריים . בכוון אחד , הם החלו לפתח תורות מתמטיות מפשטות , בלי להתענין בשאלה אם יש לתורות האלה ממוש כלשהו במציאות . במסגרת זו התפתחו תחומים חדשים , כמו תורת הקבוצית ותורת החבורות , העוסקות בתכונות של אסף כלשהו של עצמים וביחסים שהתכונות האלה מקימות , בלי קשר לשאלה מהם העצמים האלה ואם הם קימים בכלל בעולם . לחלק מהתורות האלה נמצאו שמושים חשובים בפיסיקה ובמדעים אחרים , אולם המתמטיקאים " הטהורים " סבורים שאין זה כלל תפקידו של המתמטיקאי להתענין בשאלה אם יש או אין לתורות שמושים כאלה . הכוון האחר היה נסיון להעמיד כל תורה מתמטית על מבנה משלם של הנחות , הוכחות ומשפטים , שבי כל משפט שהוא אמתי גם יזכה להוכחה המבססת את אמתותו . אולם הכוון הזה הגבל מאוד בעקבות עבודתו של המתמטיקאי קורט גדל , שהוכיח משפט , שעל פיו בכל תורה מתמטית יתכנו משפטים שהם נכונים , ואף על פי כן אי אפשר להוכיח אותם מתוך הנחות היסוד של התורה . המשפט הזה נקרא בשם " משפט אי - השלמות " , משום שהוא מראה שתורה מתמטית אינה יכולה להיות " שלמה " במובן שחפשו הילברט ותלמידיו . מתמטיקה ומחשבים בשנים האחרונות , עם היפעת המחשבים , החלו להתפתח כוונים חדשים במתמטיקה . מצד אחד , פעלת המחשב עצמו מבססת על שקולים מתמטיים . מצד אחר , המחשב מסגל לבצע במהירות כמיות גדולות של חשובים מתמטיים , וכך להגיע לתוצאות ישום מתמטיקאי בשר ודם אינו מסגל למצא . בעקבות התפתחיות אלה השתנה שוב אפן העסוק במתמטיקה , והתפתחו בה ענפים פחות " טהורים " ויותר ישומיים . למעשה , אפלו משג ההוכחה במתמטיקה משנה את אפיו . עד כה , תנאי הכרחי לקבלת תקפותה של הוכחה היה שכל מתמטיקאי יוכל לעקב אחרי כל שלביה ולבדק אותם . אולם כיום ישנם משפטים מתמטיים שההוכחות שלהם השגו בעזרת מחשב , שסרק מספר גדול מאוד של אפשריות שונות , ושום מתמטיקאי אינו יכול לבדק כל צעד בהוכחה זו . כמי כן , השאלה אם אפשר לנסח הוכחה מוצקה לנכונותה של תוצאה מתמטית כלשהי הפכה בתחומים רבים להיות פחות חשובה מהשאלה , אם אפשר לכתב תכנית מחשב שתמצא את התוצאה הזו . אוקלידס אלגברה אסטרונומיה אריתמטיקה גאומטריה טריגונומטריה יחסות , תורת מדע מחשב מספרים פיסיקה פיתגורס מתן תורה מעמד הר סיני , שבו נתנה התורה לעם ישראל . במעמד נורא הוד זה נכרתה ברית בין ה'לבין בני ישראל שהפכו עם קבלת על המצוות לעם . מעמד הר סיני הוא מארע חשוב ומרכזי בתולדות עם ישראל . הוא ארע בחדש השלישי לצאת בני ישראל משה רבנו יורד מהר סיני , כששני לוחות הברית בידיו . תחריט מאת גיסטב דורה , על פי המסורת היהודית ניתנה התורה כולה במעמד הר סיני , ומשה העביר אותה ליהושע , יהושע לזקנים וכך חיא עברה מדור לדוה

السابق  |  التالي